可能 〜できる、〜可能である
可能を表す「〜できる」は can を用いて表せます。しかしながら日本語で「〜できる」という文章があったからといって、何でかんでも can を用いるわけではありません。 can は訓練や努力によって能力的に可能な場合に使います。

Chinese Students who graduated a university can speak english.
大学を卒業した中国人の学生は英語を話せる。

That elementary school girl can swim very fast.
あの小学生の女の子はすごく速く泳げる。

物事が物理的に可能なであったり理屈的に可能な場合は、can を使わず代わりに possible (不可能な場合は impossible)という可能を表す語を使います。

Clicking the button, it's possible to show up next page.
そのボタンをクリックすれば次のページを表示できます。

It's impossible to record two programs at the same time.
同時に2つの番組を録画することはできません。

can しか知らないと、上記の日本語の例文を見ると「できる」の主語を何にしてよいのか迷うことでしょう。 We can や You can などとしがちですが possible を使えば綺麗な英文になります。 can と possible のどちらを使うべきかは「できる」に対する的確な主語があるかどうかです。can で表現できるものを possible を使って表現しても問題ありません。

コーヒーでも紅茶でも好きな方を選べます。
You can choose coffee or english tea whichever you like.
It's possible to choose coffee or english tea whichever you like.

許可 〜してもよい
can には許可の意味もあります。may との違いはほとんどありませんが、can を使った方がやや丁寧な表現となります。

Can I use your notebook?
あなたのノートパソコンを使ってもいいですか。

Can I have a cheese hamburger?
チーズバーガーを下さい。

2つめの例文ですが、Can I have 〜は店で注文するときの決まり文句です。

依頼 〜してくれませんか
can を使って「〜してくれませんか」という依頼文を作ることができます。can の代わりに could(can の過去形)を用いるとより丁寧な依頼となります。

Can you call me later?
後で電話してくれませんか。

Could you call me later?
後ほどお電話を頂けないでしょうか。

Can you tell me your address?
住所を教えてくれませんか。

Could you tell me your address?
住所を教えて頂けませんか。

可能性 〜し得る、〜する可能性がある
can は可能性を示す助動詞としてもよく使われます。「あり得ない」は cannot be 〜、「あり得る」は can be 〜です。 このように可能性を示す can では動詞として be が伴います。

She cannot be a prisoner.
彼女が犯人なんてあり得ない。

People who have the ability to judge calmly can be panic.
冷静な判断力を持った人でも慌てふためくことだってある。

特殊な使い方
上記で紹介した以外にも can の特殊な使い方があります。cannot help 〜ing は「〜せずにはいられない」、「〜せざるを得ない」という意味になります。

I can't help sympathizing with the person who had been out of work.
私は失業してしまった人に同情せざるを得なかった。

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